前野･三國 図解でわかる統計解析 (2000) |
2020.5.1 更新2020.5.13
現役の研究生活時代には、あまり、データの統計解析をすることが無かったのですが、
統計解析の手法については、なんのためにその処理するのかの説明がなく、
昔から、不審を抱いていました。
この本は、通常の教科書と同様の書き方だと思いますので、
まずは、正規分布、ｔ分布、カイ２乗分布 から、勉強し直します。
以下の解説は、私なりに説明方法を組み替えたものです。
記述統計学とも呼ばれることのある、普通の統計においては、データが与えられたとき、
それは正規分布しているとして、平均値µや標準偏差値σを計算します。
標準偏差σ＝√(偏差平方和／データ数)
信頼範囲＝ µ ± σ データの 68.26％が含まれる
＝ µ ±1.65×σ データの 90％ が含まれる
＝ µ ±1.96×σ データの 95％が含まれる
＝ µ ± 2×σ データの 95.44％が含まれる
＝ µ ± 3×σ データの 99.73％が含まれる
しかし、推測統計と呼ばれる手法において、平均値µ、標準偏差σで正規分布する母集団から
Ｎ個標本を抜き出して、データの平均値 ｘ とµの差の推定を行う場合、
平均０で、標準偏差がσの 1/(Ｎ)1/2 の正規分布をすることから
ｔ＝( ｘ−µ )／√(分散／Ｎ) ＝( ｘ−µ )／(σ ・ (Ｎ)1/2 ) で定義される変数変換を行います。
このｔ分布 は、提唱したゴセットが、スチューデントというペンネームで論文を書いたため、スチューデントのｔ分布ともいいます。
ｔ 分布は、データ数Ｎ毎に描かれますが、Ｎが小さいと、分散が大きく、Ｎが∞に近づくにつれ正規分布に近づきます。
母平均の区間推定では、125頁の例２は、新生児10人の体重データがあるとき、Ｎ＝10
標本平均＝データの和／Ｎ＝30700／10＝3070
分散＝[Ｎ×Σ(データ)2 − (データ和)2]／[Ｎ(Ｎ−１)] ＝ 72244.44
信頼限界＝標本平均±k・√(分散／Ｎ)
122頁のｔ分布表で、自由度Ｎ−１＝９で、Ｐ＝0.05のときのｔの値は2.262なので
この値をｋとして、信頼限界(95％)を計算すると、±192.3となります。
次に、カイ２乗分布 ですが、 サイコロを50回ふって、偶数目が45回、奇数目が5回でたとたとき、
期待値は、ともに、25ですので、期待値からのずれの度合いを表す価として、カイ２乗値を定期します。
カイ２乗＝Σ {｜(実現値)−(期待値)｜2 ／期待値 }
今の場合、(45-25)2/25 + (5-25)2/25 ＝ 32
1000回ふって、偶数目が520回、奇数目が480回でた場合は、
カイ２乗＝ (520-500)2/500 + (480-500)2/500 ＝ 1.6
このカイ２乗値で、発生頻度を表すのが、カイ２乗分布です。
139頁の例２では、ある工場で、過去10年間の曜日別事故発生数は、
月曜＝31、火曜＝20、水曜＝15、木曜＝18、金曜＝22、土曜＝14、計＝120
でした。事故の起こり方は、曜日に関係あるかないかを検討すると、
曜日に関係ないとすると、各曜日の期待値は120／6＝20日なので、
カイ２乗値＝(31−20)2／20＋･･･＋(14-20)2／20＝9.5
138頁のカイ２乗分布表で、自由度6-1＝５の行のＰ＝0.05の値は11.07であるので
特定の曜日だけに事故が起こりやすいとはいえない、という結論になります。
この本には、昔ながらに、表を参照する例しかありませんが、
パソコンが発達した近年においては、もっと高度な処理ができるはずですので、
いつか、ＰＣ対応の教科書で、勉強しなおしたいと思います。
推測統計において、分布表を引くということは、昔は、表を持っている専門家にしかできないことなので、
専門家を専門家たらしめていたのだと思います。
パソコンが普及した現代、表を引くことは、パソコンで計算することで代用できます。
一番わかりやすいのは、エクセルの統計関数を使うことです。
上記の最初の例で利用したのは、両側確率のｔ分布表なので、
エクセルでは、T.INV.2T という関数を使います。
T.INV.2T (両側確率, 自由度) ＝ T.INV.2T (0.05, 9) ＝ 2.262157163
次の例で使用したのは、右側確率のカイ２乗分布なので
エクセルでは、CHISQ.INV.RT という関数を使います。
CHISQ.INV.RT (右側確率、 自由度) ＝ CHISQ.INV.RT (0.05, 5) ＝ 11.07049769
上記のｔ分布の説明を更新しました。
７章から、２組のデータの差の検定の問題が扱われています。
最初の例題は、男子生徒11人のテストの成績が、平均71点、標準偏差が6点、
女子生徒11人の成績が、平均点74点、標準偏差6点だった。この平均点に差はあるか？
という問題です。
検定統計量Ｔ＝(µ1−µ2)／√{(σ1／Ｎ1)+(σ2／Ｎ2)}
＝(71−74)／{}
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